Ausgangssituation

Viele Phänomene in der Natur und in der Technik können nur durch nichtlineare dynamische Systeme angemessen beschrieben werden. Die Allgemeine Zellabbildung und einige verwandte Themen stellen heutzutage eine der wenigen, mathematisch gesicherten, globalen numerischen Analysemethoden für nichtlineare dynamische Systeme dar. Bislang aber entstehen Schwierigkeiten, wenn dem Systemverhalten zufällige Störungen überlagert sind bzw. wenn das System per se stochastisch ist. Zum heutigen Zeitpunkt existiert kein Verfahren, mit dem es möglich ist, solche Störungen zufrieden stellend zu analysieren. Die adaptive Zellabbildungsmethode hat ihr Potential hinsichtlich der Untersuchung von ungestörten Systemen bereits gezeigt. Weil dabei schon vom Ansatz her ein stochastischer Zugang zur Analyse geboten wird, ist zu erwarten, dass auch gestörte dynamische Systeme mit der Zellabbildung sehr gut behandelt werden können.

Vorgehensweise

Zuerst soll für additive (Zustandsraum) und multiplikative (Parameter) Störungen die Zellabbildung durch Diskretisierung des zugehörigen Markov-Operators hergeleitet werden. Anschließend ist eine Erweiterung der Theorie auf allgemeine Störungen durchzuführen. Dabei wird auch der allgemeine Ansatz der Störung als treibendes dynamisches System untersucht. Die dadurch gewonnenen Erkenntnisse sollen ebenfalls auf zeitkontinuierlich gestörte Systeme übertragen werden. Im Weiteren wird mittels numerischer Experimente und theoretischer Analyse der (nichtstetige) Zusammenhang zwischen der Größe der Störung und der Feinheit der Zellstruktur geklärt, so dass Kriterien für einen geeigneten Zellraum abgeleitet werden können. Diesbezüglich sind adaptive Verfeinerungskriterien, die aus der Graphstruktur der Übertragungsmatrix hervorgehen, zu entwickeln. Schließlich sollen wichtige Größen aus der Zuverlässigkeitsanalyse mit den Ergebnissen der Zellabbildungsmethode berechnet werden, wobei Fehlerschranken und Fehlerabschätzungen anzugeben sind.